248章 你们非常可爱月票)(1 / 2)

不需证明的常识性认知为公理,经过受逻辑限制的证明为真的陈述为定理。

欧几里得用十条公理推导出465条定理,用465条定理构造了整个经典几何世界。

各国中学生所学习的几何母版,其实就是欧几里得著于两千多年前的《几何原本》。

《几何原本》在世界范围内的出版行数量仅次于《圣经》,我们依旧在学习两千多年前的几何教材,或许还将继续学习两千年。这就是“经典教材”的定义。

欧几里得先设定公理再证明定理,从而推导出整个经典几何世界的严谨思维令人惊叹。即便在今天,这种逻辑推理思维与整体构筑能力也堪称变态。

唯一的疑点是,“欧几里得第五公设”的常识性认知值得商榷。

欧几里得最早设定的10个常识性认知,其实是5个公理+5个公设。

近代数学将公设与公理合并,对于常识性的认知统称为公理。

“欧几里得第五公设”所描述的常识性认知,可等价表示为:过已知直线外一点,能且仅能作一条直线与已知直线平行。

“第五公设不难理解,并成为社会上大多数人的常识。”沈奇在黑板上随手画了一条长达一米八的直线,非常的直,像是拿尺子比出来的。

“我问山姆,嘿山姆,过已知直线外一点能作几条直线与已知直线平行?”

“山姆告诉我,只能作一条平行线。山姆说这是他中学数学老师教他的,他认为这是常识性的问题,就如信用卡必须按时还款,否则将被起诉。”

“我问丽萨,她给我相同的答案。”

“对了,山姆是老虎旅馆的经理,人很不错。而丽萨是经济学三年级的学生,超级火辣,人很可爱,她常去老虎旅馆玩。”说到这里,沈奇在黑板上画了个点。

“哇喔,奇,你已经和丽萨约会了?”十二位数学系男生中的一半是宅男,并没有女朋友,他们感到羡慕。

“这不是重点。”沈奇心疼的看着这些宅男单身狗,承诺道:“几个月之后你们进入普林斯顿满两年,我会介绍你们加入老虎旅馆,普林斯顿最漂亮、最劲爆的姑娘们都在那里愉快玩耍。”

“Grat-Ky!”

“伟大奇!”

宅男们鸡冻了,沈奇在他们心中的形象愈光辉伟岸,老头子教授们可不会带他们去俱乐部认识漂亮姑娘。

“言归正传,重点是经济学专业的丽萨也学习基础数学理论,但她并不认为过直线外一点,能作出两条以上的平行线。”沈奇敲了敲黑板上的那个小点,说到:“丽萨无法做到的事情,我们可以替她完成。欧几里得第五公设在大多数情况下是常识,但当光线通过大质量星球时,我们必须使用非欧几何,因为光线会弯曲。”

沈奇在黑板上徒手画了一个圆,特别的圆,圆成这样了○

圆内两点A、B由一条曲线连接,这条曲线在非欧几何中代表直线。

“从宇宙的角度审视地球,过AB外一点,我们可以作出无数条平行线。”

沈奇给学生们温习罗氏点和罗氏直线的知识点,加深学生们的印象。

穆勒教授在大课堂上讲的很快,两节大课之后已讲到了黎曼几何。

导修班是有必要的,这些二年级学生尚在学术成长期,他们需要一对一的单独辅导,否则有可能抓狂。

伟大的欧几里得留下了一条破绽,第五公设的普适性值得商榷,而这正是非欧几何的开端。

非欧几何分为两个主要流派,罗巴切夫斯基几何与黎曼几何。

罗氏几何即双曲几何,更多是从几何角度出。黎曼几何即椭圆几何,因为流形的引入,黎曼几何与微分、拓扑、群论相交叉,研究起来的难度更大。

沈奇在罗氏几何中,通过作图演绎出了过直线外一点的无穷多条平行线,传统意义上的平行概念消失,弯曲空间中的平行遵守罗氏平行公理。

在这个特殊的空间中,三角形的内角和不再是180度,而是小于180度。

三角形的样子也不再是刚正不阿的传统三角形,沈奇用“魔鬼喇叭花”图案,生动演绎了罗氏三角形内角和小于180度的原理。

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